Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 1.3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - λ & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим $- 2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - λ & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим $4$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 + 0 & - 10 - λ & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.3

Добавим $- 10$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - λ & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.4

Добавим $4$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - λ & 4 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.5

Добавим $- 5$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - λ & 4 \\ - 5 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.6

Добавим $- 1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - λ & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 10 - λ & 4 \\ - 1 & - 6 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} - 10 - λ & 4 \\ - 1 & - 6 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} - 10 - λ & 4 \\ - 1 & - 6 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 10 - λ & 4 \\ - 1 & - 6 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((- 10 - λ) (- 6 - λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Развернем $(- 10 - λ) (- 6 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (3 - λ) (- 10 (- 6 - λ) - λ (- 6 - λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (3 - λ) (- 10 \cdot - 6 - 10 (- λ) - λ (- 6 - λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (3 - λ) (- 10 \cdot - 6 - 10 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.2.1.1

Умножим $- 10$ на $- 6$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 - 10 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.2.1.3

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.2.2

Добавим $10 λ$ и $6 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 16 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.3

Умножим $- (- 1 \cdot 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 16 λ + λ^{2} - - 4) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 16 λ + λ^{2} + 4) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.2

Добавим $60$ и $4$ .

$p (λ) = (3 - λ) (16 λ + λ^{2} + 64) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.3

Изменим порядок $16 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (- 10 (- 6 - λ) - (- 5 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (- 10 \cdot - 6 - 10 (- λ) - (- 5 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.2

Умножим $- 10$ на $- 6$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (60 - 10 (- λ) - (- 5 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (60 + 10 λ - (- 5 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.4

Умножим $- (- 5 \cdot 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.4.1

Умножим $- 5$ на $4$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (60 + 10 λ - - 20) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 20$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (60 + 10 λ + 20) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.2

Добавим $60$ и $20$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 10 \cdot - 1 - (- 5 (- 10 - λ)))$

Этап 1.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Умножим $- 10$ на $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - (- 5 (- 10 - λ)))$

Этап 1.5.4.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - (- 5 \cdot - 10 - 5 (- λ)))$

Этап 1.5.4.2.1.3

Умножим $- 5$ на $- 10$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - (50 - 5 (- λ)))$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - (50 + 5 λ))$

Этап 1.5.4.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - 1 \cdot 50 - (5 λ))$

Этап 1.5.4.2.1.6

Умножим $- 1$ на $50$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - 50 - (5 λ))$

Этап 1.5.4.2.1.7

Умножим $5$ на $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - 50 - 5 λ)$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $50$ из $10$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 40 - 5 λ)$

Этап 1.5.4.2.3

Изменим порядок $- 40$ и $- 5 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Этап 1.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.1

Развернем $(3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (16 λ) + 3 \cdot 64 - λ \cdot λ^{2} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Этап 1.5.5.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.2.1

Умножим $16$ на $3$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 3 \cdot 64 - λ \cdot λ^{2} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Этап 1.5.5.1.2.2

Умножим $3$ на $64$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ \cdot λ^{2} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Этап 1.5.5.1.2.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.2.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - (λ^{2} λ) - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Этап 1.5.5.1.2.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.2.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Этап 1.5.5.1.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{2 + 1} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Этап 1.5.5.1.2.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Этап 1.5.5.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 1 \cdot 16 λ \cdot λ - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Этап 1.5.5.1.2.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.2.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 1 \cdot 16 (λ \cdot λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Этап 1.5.5.1.2.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 1 \cdot 16 λ^{2} - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Этап 1.5.5.1.2.6

Умножим $- 1$ на $16$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 16 λ^{2} - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Этап 1.5.5.1.2.7

Умножим $64$ на $- 1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 16 λ^{2} - 64 λ + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Этап 1.5.5.1.3

Вычтем $16 λ^{2}$ из $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 64 λ + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Этап 1.5.5.1.4

Вычтем $64 λ$ из $48 λ$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Этап 1.5.5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 2 (10 λ) + 2 \cdot 80 + 4 (- 5 λ - 40)$

Этап 1.5.5.1.6

Умножим $10$ на $2$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 2 \cdot 80 + 4 (- 5 λ - 40)$

Этап 1.5.5.1.7

Умножим $2$ на $80$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 + 4 (- 5 λ - 40)$

Этап 1.5.5.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 + 4 (- 5 λ) + 4 \cdot - 40$

Этап 1.5.5.1.9

Умножим $- 5$ на $4$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 - 20 λ + 4 \cdot - 40$

Этап 1.5.5.1.10

Умножим $4$ на $- 40$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 - 20 λ - 160$

Этап 1.5.5.2

Объединим противоположные члены в $- 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 - 20 λ - 160$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1

Вычтем $20 λ$ из $20 λ$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 0 + 160 - 160$

Этап 1.5.5.2.2

Добавим $- 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3}$ и $0$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 160 - 160$

Этап 1.5.5.2.3

Вычтем $160$ из $160$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 0$

Этап 1.5.5.2.4

Добавим $- 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3}$ и $0$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3}$

Этап 1.5.5.3

Перенесем $192$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ - λ^{3} + 192$

Этап 1.5.5.4

Перенесем $- 16 λ$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - λ^{3} - 16 λ + 192$

Этап 1.5.5.5

Изменим порядок $- 13 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 = 0$

Этап 1.7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Разложим $- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

$q = \pm 1$

Этап 1.7.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

Этап 1.7.1.1.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$- 3^{3} - 13 \cdot 3^{2} - 16 \cdot 3 + 192$

Этап 1.7.1.1.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 27 - 13 \cdot 3^{2} - 16 \cdot 3 + 192$

Этап 1.7.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $27$ .

$- 27 - 13 \cdot 3^{2} - 16 \cdot 3 + 192$

Этап 1.7.1.1.3.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- 27 - 13 \cdot 9 - 16 \cdot 3 + 192$

Этап 1.7.1.1.3.5

Умножим $- 13$ на $9$ .

$- 27 - 117 - 16 \cdot 3 + 192$

Этап 1.7.1.1.3.6

Вычтем $117$ из $- 27$ .

$- 144 - 16 \cdot 3 + 192$

Этап 1.7.1.1.3.7

Умножим $- 16$ на $3$ .

$- 144 - 48 + 192$

Этап 1.7.1.1.3.8

Вычтем $48$ из $- 144$ .

$- 192 + 192$

Этап 1.7.1.1.3.9

Добавим $- 192$ и $192$ .

$0$

Этап 1.7.1.1.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $λ - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192}{λ - 3}$

Этап 1.7.1.1.5

Разделим $- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192$ на $λ - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$16 λ$

$192$

Этап 1.7.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$

Этап 1.7.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Этап 1.7.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- λ^{3} + 3 λ^{2}$ .

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Этап 1.7.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$

Этап 1.7.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$

Этап 1.7.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 16 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$

Этап 1.7.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$16 λ^{2}$	+	$48 λ$

Этап 1.7.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 16 λ^{2} + 48 λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$

Этап 1.7.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$

Этап 1.7.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$

Этап 1.7.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 64 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$	-	$64$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$

Этап 1.7.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$	-	$64$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$
							-	$64 λ$	+	$192$

Этап 1.7.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 64 λ + 192$ .

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$	-	$64$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$
							+	$64 λ$	-	$192$

Этап 1.7.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$	-	$64$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$
							+	$64 λ$	-	$192$
										$0$

Этап 1.7.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- λ^{2} - 16 λ - 64$

Этап 1.7.1.1.6

Запишем $- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192$ в виде набора множителей.

$(λ - 3) (- λ^{2} - 16 λ - 64) = 0$

Этап 1.7.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 64 = 64$ , а сумма — $b = - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 16$ из $- 16 λ$ .

$(λ - 3) (- λ^{2} - 16 λ - 64) = 0$

Этап 1.7.1.2.1.1.2

Запишем $- 16$ как $- 8$ плюс $- 8$

$(λ - 3) (- λ^{2} + (- 8 - 8) λ - 64) = 0$

Этап 1.7.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(λ - 3) (- λ^{2} - 8 λ - 8 λ - 64) = 0$

Этап 1.7.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(λ - 3) ((- λ^{2} - 8 λ) - 8 λ - 64) = 0$

Этап 1.7.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(λ - 3) (λ (- λ - 8) + 8 (- λ - 8)) = 0$

Этап 1.7.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- λ - 8$ .

$(λ - 3) ((- λ - 8) (λ + 8)) = 0$

Этап 1.7.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(λ - 3) (- λ - 8) (λ + 8) = 0$

Этап 1.7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ - 3 = 0$

$- λ - 8 = 0$

$λ + 8 = 0$

Этап 1.7.3

Приравняем $λ - 3$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Приравняем $λ - 3$ к $0$ .

$λ - 3 = 0$

Этап 1.7.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$λ = 3$

Этап 1.7.4

Приравняем $- λ - 8$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Приравняем $- λ - 8$ к $0$ .

$- λ - 8 = 0$

Этап 1.7.4.2

Решим $- λ - 8 = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$- λ = 8$

Этап 1.7.4.2.2

Разделим каждый член $- λ = 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.2.1

Разделим каждый член $- λ = 8$ на $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{8}{- 1}$

Этап 1.7.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{λ}{1} = \frac{8}{- 1}$

Этап 1.7.4.2.2.2.2

Разделим $λ$ на $1$ .

$λ = \frac{8}{- 1}$

Этап 1.7.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.2.3.1

Разделим $8$ на $- 1$ .

$λ = - 8$

Этап 1.7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(λ - 3) (- λ - 8) (λ + 8) = 0$ верно.

$λ = 3, - 8$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $- 3$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.3

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.4

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.5

Умножим $- 3$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.6

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.7

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.8

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.9

Умножим $- 3$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 3 - 3 & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.3.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.3.3

Добавим $4$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 + 0 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.3.4

Добавим $- 10$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.3.5

Вычтем $3$ из $- 10$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.3.6

Добавим $4$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.3.7

Добавим $- 5$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 \\ - 5 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.3.8

Добавим $- 1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.3.9

Вычтем $3$ из $- 6$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 9 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when $λ = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 10 & - 13 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 9 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 10 & - 13 & 4 & 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 9 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{10}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{10}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 & - \frac{1}{10} \cdot 4 & - \frac{1}{10} \cdot 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 9 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 9 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & - 1 + 5 (\frac{13}{10}) & - 9 + 5 (- \frac{2}{5}) & 0 + 5 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ 0 & \frac{11}{2} & - 11 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 4 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & \frac{11}{2} & - 11 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & \frac{11}{2} & - 11 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{11}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{11}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 - \frac{11}{2} \cdot 0 & \frac{11}{2} - \frac{11}{2} \cdot 1 & - 11 - \frac{11}{2} \cdot - 2 & 0 - \frac{11}{2} \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{13}{10} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{13}{10} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{13}{10} \cdot 0 & \frac{13}{10} - \frac{13}{10} \cdot 1 & - \frac{2}{5} - \frac{13}{10} \cdot - 2 & 0 - \frac{13}{10} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.6.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{11}{5} z = 0$

$y - 2 z = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{11 z}{5} \\ 2 z \\ z \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{11}{5} \\ 2 \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{11}{5} \\ 2 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{11}{5} \\ 2 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + 8 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $8$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $8$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.3

Умножим $8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.4

Умножим $8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.5

Умножим $8$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.6

Умножим $8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.7

Умножим $8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.8

Умножим $8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.9

Умножим $8$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 3 + 8 & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Добавим $3$ и $8$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.3

Добавим $4$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 + 0 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.4

Добавим $- 10$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.5

Добавим $- 10$ и $8$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.6

Добавим $4$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.7

Добавим $- 5$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 \\ - 5 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.8

Добавим $- 1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.9

Добавим $- 6$ и $8$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 \\ - 5 & - 1 & 2 \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when $λ = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 & 0 \\ - 10 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{11}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{11}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{11}{11} & \frac{- 2}{11} & \frac{4}{11} & \frac{0}{11} \\ - 10 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ - 10 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 10 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 10 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ - 10 + 10 \cdot 1 & - 2 + 10 (- \frac{2}{11}) & 4 + 10 (\frac{4}{11}) & 0 + 10 \cdot 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & - \frac{42}{11} & \frac{84}{11} & 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & - \frac{42}{11} & \frac{84}{11} & 0 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & - 1 + 5 (- \frac{2}{11}) & 2 + 5 (\frac{4}{11}) & 0 + 5 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & - \frac{42}{11} & \frac{84}{11} & 0 \\ 0 & - \frac{21}{11} & \frac{42}{11} & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{42}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{42}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ - \frac{11}{42} \cdot 0 & - \frac{11}{42} (- \frac{42}{11}) & - \frac{11}{42} \cdot \frac{84}{11} & - \frac{11}{42} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{21}{11} & \frac{42}{11} & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & - \frac{21}{11} & \frac{42}{11} & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{21}{11} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{21}{11} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 + \frac{21}{11} \cdot 0 & - \frac{21}{11} + \frac{21}{11} \cdot 1 & \frac{42}{11} + \frac{21}{11} \cdot - 2 & 0 + \frac{21}{11} \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{11} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{11} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{11} \cdot 0 & - \frac{2}{11} + \frac{2}{11} \cdot 1 & \frac{4}{11} + \frac{2}{11} \cdot - 2 & 0 + \frac{2}{11} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.6.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$y - 2 z = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 z \\ z \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{11}{5} \\ 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}]}$